2015年07月06日

夏は相似を

夏期講習では各科目の総復習をしますが、算数の相似な図形、面積比、縮尺などでつまずいたら、必ず復習をしてください。中学受験では、平行四辺形や直角三角形で、相似な図形を考えさせる問題が頻出です。また、それだけではなく、速さの文章題や理科のグラフ問題でも、相似を利用して解きます。相似が得意になると、様々な問題が解けるようになります。

小学生の場合、一見、難しい問題をスラスラ解いているように見えても、「実は、実際の長さと比の違いが分かっていなかった」など、本質的な考え違いをしていることがあります。小5の頃は、表面的な理解にとどまっていたことでも、小6であれば、理解が進みます。

相似に限らず、旅人算など重要事項は、過去問を解き始めるまでに終わらせるほうが望ましいです。お盆や夏休みの終わり頃は予定を詰め込みすぎず、夏期講習で不十分だった問題を解く時間に充てると、秋以降、スムーズに過去問演習ができます。

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2014年10月21日

中学受験の空間図形

空間図形は、算数が苦手な受験生にとっては、ハードルが高い分野です、ただ、漠然と、「算数のセンスがないから無理」と言ってしまうと、もったいないです。中学受験では、最難関校でもないかぎり、パターンにはまった問題が出題されます。適切な練習をすれば、基本問題は得点できます。

空間図形の難しさ

1 自分で図を描かなければならない
空間図形では、展開図、見取り図、切断面などを自分で工夫して描かなければなりません。空間図形が苦手な受験生は、講師の描いた図を何も考えずに板書しているだけで、自分で図を描いていないことが多いです。小学校程度の易しい問題でいいので、自分で手を動かして図を描く練習をしてください。展開図や見取り図がスラスラ描けるようになったら、どの問題で、どのような図を描くべきか、基本問題を使っておぼえてください。

2 補助線の引き方が難しい
空間図形では、端を延長したり、高さの線を引くなど、補助線を引かないと解けない問題が多いです。補助線を引く問題は、あらかじめ問題のパターンを知っていないと解けないので、解けなかった問題をノートにまとめるなど、解法を暗記する工夫が必要です。同じパターンの問題を。切り貼りしてファイルしておくと便利です。

3  計算が複雑
空間図形では、たて、よこ、たかさをかけ合わせるので、どうしても計算が複雑になります。3.14をくくり出すなど、計算の工夫を使いこなせるように練習してください。また、水そうグラフなどでは、比を使って計算するテクニックを教えますが、「どうしてそうなるのか」を理解してないままだと、少し問題の設定が変わると解けません。講師の解法をうのみにするだけではなく、自分で手を動かして体積を計算し、納得することが大切だと思います。
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2013年11月22日

補助線

補助線は思いつきと捉えられがちですが、中学受験で必要な問題の大部分は、中学数学のパターンにはまります。努力すればできるようになるので、捨てるともったいないです。ただ、出題範囲はかなり広く、大雑把に「図形」と考えるより、カテゴリー別に苦手な分野を演習する方が能率的です。

・相似の応用(平行線などを引く、線を延長して相似な三角形をつくる)

・60度、45度などの利用(垂線を引く)

・円の半径、接線などを引く

学校によっては、例年、似たような着眼点の問題が出題されることもあります。志望校でよく出題されるパターンを、塾のテキストから抜粋すると効果的です。
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2013年10月15日

空間図形の勉強法

空間図形の難しさ

1 見取り図、展開図、切断面の図などを、素早く正確に書くこと
空間図形では、様々な図がでてきます。空間図形が苦手なお子さんは、解説の図をただ写しているだけで、「どうやったら、その図が描けるのか」「どうして、その図を描くと解けるのか」を考えていないことが多いです。ストレスなく、さらっと正確な図が描けるようになるには、かなり練習が必要です。見取り図が歪んでいたり、角や辺の対応が違う図を描いている場合は、例題レベルの問題をたくさん解いてください。

2 けたの多い計算や、円周率を使う複雑な計算をすること
表面積の問題や、複雑な回転体の体積の問題では、非常に煩雑な計算もあります。計算が原因で失点している場合は、途中式の書き方に問題がないか、円周率をくくり出すなど計算の基礎ができているかチェックが必要です。

3 必要な解法を暗記していること
円錐や、特殊な三角錐では、公式や図形の性質をあらかじめ知っていないと、小学生には難しい問題もあります。塾で、暗記した方がよいと言われたことは、使いこなせるようにしてください。

立体図形では、上記のように、「難しいポイント」が絡み合っています。立体図形が苦手な場合は、解けない原因を分析し、適切な勉強をする必要があります。
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2013年04月16日

相似な図形

図形分野が苦手な場合、まず克服するべきは、相似な図形です。なぜなら、これらの問題は、模擬試験や過去問で、高い確率で大問として出題されるからです。「相似な図形を見つける→線分比を書き込む→線分や面積を求める」という一連の作業ができるようになると、テストで解ける問題が増え、自信につながります。

また、中学受験では、速さの問題を、相似の発想で解く場合が多いので、相似の理解が進むと、文章題にも良い影響があります。

相似な図形では、複数の解き方ができる問題が多く、同じ問題でも、講師によって解法が異なることがあります。理解があやふやな状態で、やみくもに問題を解くと、混乱をきたしてしまいます。最初は、塾の授業でやった問題に絞る方が勉強しやすいです。





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2012年06月22日

相似の応用

三角形の相似は、図形の問題だけではなく、様々な問題で使われます。

特に、速さのグラフ問題では相似の知識が必須です。

中学受験では、相似な三角形に目をつけることで、一次関数の公式を使わずにグラフの計算をします。

また、理科では、輪軸のつり合いや、光の作図などで相似の考え方を用います。

相似をマスターすると、色々な面でプラスの効果があります。

夏期講習では、ぜひ相似な図形の総復習に力をいれてください。


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2011年05月05日

図形の応用問題

小6の今の時期は、複雑な図形の問題を演習します。

例えば、影の長さ、図形の回転移動、複雑な立体の計量などです。

これらの単元が難しいのは、補助線が必要な問題が多いからです。

補助線を引けるようになるには、問題パターンを知ることが重要です。

ただ、問題演習してもテストでアウトプットできない場合、解法を暗記しても意味がありません。

基礎的な図形問題と知識を結びつけることで、応用問題の解法を身につけられます。

図形でつまずいてしまったら、思いきって小5の問題に戻ってください。

目安としては、以下の単元を復習すると効果的です。

影の問題→相似

立体図形→体積や表面積、相似

図形の回転移動→円周や円の面積
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2010年09月18日

新学習指導要領の教材

大人にとっては「同じ形の図形を見分ける」というのは簡単なことです。

ですが、小学生にとっては、意外とそれが難しいです。

小4くらいまでは、45度の角と60度の角は、「同じ!」と思ってしまうことがあります。

小5になっても、合同でないものを合同と感じたり、平行四辺形と台形の区別がつかないことは普通です。

中2くらいになると、勉強が苦手なお子さんでも「同じ図形が見分けられない」ということはなくなります。

大人から見たらびっくりすることを言っていても、普通のカリキュラムで勉強していれば自然と認識力が育つので、心配は必要ないです。

ただ、中学受験をする場合、図形を直感的に認識できないと非常に不利です。図形が苦手な場合は、図形の把握能力を伸ばす必要があります。

ところで、本年度からは、小学校の履修課程で、合同な図形や図形の縮尺が教えられるようになりました。

小学5年生で合同、小学6年生で図形の縮尺を習います。

新学習指導要領に対応した問題集をいくつか見ましたが、小学生でも図形を把握できるように、丁寧な配慮がなされています。

例えば、「トコトン算数 文章題ドリル」(文英堂)では、分かりやすい例題で基礎知識の演習ができます。

市販の問題集で十分なので、図形の見分け方が苦手な場合は、ぜひ新学習指導要領図形の教材を利用してみてください。
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2010年06月13日

相似

5月のブログで、図形のポイントをお話ししました。

ポイントの中でも、特に重要なのは相似です。

なぜなら中学受験では、一次関数の問題を、図形の相似を応用して解くからです。

速さのダイヤグラム、水量変化の問題、理科の化学分野の計算などで相似を使います。

特に四谷大塚の小6のテキストでは、相似を重視した構成になっているので、相似が分からないと算数が苦手になってしまいます。

逆に、相似の問題パターンを体にしみこませていれば、様々な問題をスムーズに解けます。

基礎知識の総復習には、「ウィニングステップ 小学5年」(日能研ブックス)がお奨めです。

コンパクトに要点がまとまっていて使いやすいです。

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2010年05月29日

図形の発展問題

図形の発展問題ではセンスが必要と言われますが、中学受験の算数では、図形はむしろ誰でも得点しやすい分野です。

なぜなら、中学受験の範囲であればパターン化された問題が多く、計算の負担も少ないからです。

発展問題で頻出の分野は以下の通りです。

・相似
・軌跡
・水位変化やダイヤグラム
・立体の体積
・正多面体の知識

これらの単元だけでも、基礎から応用までじっくり取り組めば、発展問題への苦手意識は減るはずです。

単元別の基礎固めが終わったら、単元別ではなく解法別に知識を整理すると効果的です。

・図形内に補助線を引く
・線分を延長する
・等積変形をする
・立体図形の切断面を描く
・直角に目をつけて相似な図形を見抜く

これらの解法は単元をまたいで必要です。

同じ解法を使う問題を3〜4問じっくり解くことで、重要な解法の使い方を理解することができます。
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2009年11月24日

相似な図形

小学5年生の2学期は、比がメインになります。

図形では、相似な図形を習い、比の計算を用いて線分や面積の大きさを求めます。

相似な図形は、現在の教育課程では、中3と高1で習います。

中学受験をする場合は、中3の2学期以降で習うことを、小5で勉強することになるので、無理がきてしまうことがあります。

最初のうちは、三角定規を使って問題文中の図形を写し、「どの角度とどの角度が等しいのか」「どの線とどの線が平行なのか」をたしかめ、直感を鍛えましょう。

慣れてきても、自分で補助線を引かなければならない問題では、つまづいてしまうことが良くあります。

補助線を引くときは、「三角形を作る」という発想が大事です。例えば、四角形の問題なら、まず対角線を引くということです。

たとえ、最終的には使わない線であっても、とにかく手を動かして角度が同じ三角形を探すことで、糸口が見つかります。

問題を前に呆然としてしまうときには、とにかく三角形を作って考えるようにアドバイスしてあげて下さい。

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2009年10月26日

どこが同じか?

中学入試の算数では、相似な図形を応用した図形問題が頻出です。

相似な図形を見つけるには、2つの三角形の対応する角度が同じことに気づくことが必要です。

小学5年生は、そろそろ相似にはいりますが、「同じ角を見つける」というのは、小学5年生にとっては意外と難しいです。

小学3〜4年生くらいまでは、平行線や対称移動の感覚が分からなかったり、45度と30度が同じに見えてしまっていることがよくあります。

小学5年生のなかには、大人と同じような図形の感覚を持ち始めてから、まだ1年足らずのお子さんもいます。まだ図形に慣れていないので、違う角を同じに思うなど、図形の形を誤解していることがよくあります。

兼学塾でも、実際に紙を折ったり、厚紙で作った図形を転がすと、生徒さんが「え!」と驚きます。

図形の感覚が育っていないと、いくら机上で辺の比などを計算しても、ただの暗記になってしまいます。

実際に三角定規を触ったり、テキストの図形を厚紙で作ったりして、ささいなイメージの狂いを一つ一つ解消していくことが大事です。


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2009年09月10日

図形の回転移動

中学受験では、図形を回転移動させる問題がよく出題されます。

例えば、扇形を転がして、その弧が移動した面積を計算させる、などの問題です。

回転移動の問題では、「回転の中心」「半径」「回転する角度」を図に描きこみながら解きましょう。

回転移動でミスをする生徒は、面倒くさがって、1回転するときの様子を作図していないことが多いです。

この3点さえ分かれば、よほど難しい問題でなければ、普通の円や三角形の問題になります。

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2009年08月05日

同じところに印をつける

中学受験の算数では、中学3年で習う図形の知識を先取りして勉強します。(三平方の定理を除く)

特に重要なのは、相似な図形の問題(形が同じ2つの三角形の性質を考える問題)です。相似な図形は、図形の問題だけでなく、グラフの問題や理科の力学でも使います。

ここで大事なのは、2つの図形で、「どの角が同じか」「どの辺が対応しているか」に気づく力です。

相似な図形を見つけるには、2つの三角形の角度を比較したり、辺の線分比を調べる必要があるからです。

対称な図形を見たら同じ角や辺に印をつける、など2つの図形の共通点に印をつける習慣をつけると、相似な図形を見抜く勘が身につきます。

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2009年06月06日

比を利用した問題

中学受験では、比を利用した問題が頻出です。

この分野は、中学では、3年生で「相似な図形」として習います。
相似な図形は、中学3年生でも難しい単元です。

その理由は、「比」と「線分の実際の長さ」を区別できないと、問題の意味を理解できないからです。

「比」の概念は、進学塾に通っていれば5年生の後半、小学校では6年生になって習います。

つまり、中学受験生は、「比」を習った直後に、比を用いた図形の応用問題を解いています。

一見、きちんと計算しているようでも、比の概念をしっかり理解しているとはかぎりません。応用問題にはいったとたん、比をあらわす数字を実際の長さと勘違いするなど、問題を解けなくなることがあります。

進学塾では、一般的に、比を図に書き込むときには数字に印をつけるなど、比と実際の長さを区別できるように指導します。

しかし、「なぜ比で表される数に印をつけなくてはならないか」をしっかり理解している小学生は少ないです。

比を用いた問題では、単に答えをだすだけでなく、比と実際の長さを区別して解いているか、確認する必要があります。
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2009年05月19日

展開図を組み立てよう!

空間図形は、好き嫌いが二極化しやすい分野です。

空間図形の問題を解くときには、展開図や切断面を描くなど、平面で考えます。

ただ、小学生が空間図形を勉強するときには、まず、実際の立体図形を展開図から組み立て、立体を立体のまま観察してください。

小学生は、まだ、テキストの図から、うまく立体図形を想像することができないことが多いです。

図形のセンスそのものを磨くためにも、ぜひとも実際に立体を作ってください。

直方体、立方体、円柱、直円錐、正四面体、正八面体くらいを実際に作ってみると、たいていの空間図形は理解できるようになります。

特に、立方体や正四面体は、違った種類の展開図をつくると勉強になります。
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